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题目
题型:不详难度:来源:
已知椭圆的方程为:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,其中a2=4c,直线l:3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l与椭圆在x轴上方的一个交点为P,F是椭圆的右焦点,试探究以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.
答案
(Ⅰ)设椭圆的左右焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0),
直线3x-2y=0与椭圆的一个交点坐标是M(c,
3c
2
)

根据椭圆的定义得:|MF1|+|MF2|=2a,


[c-(-c)]2+(
3c
2
)
2
+


(c-c)2+(
3c
2
)
2
=2a
,即4c=2a①,
a2
c
=4
②,a2=b2+c2③,联立①②③三式解得a=2,b=


3
,c=1

所以椭圆的方程为:
x2
4
+
y2
3
=1

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,直线与椭圆的一个交点为P(1,
3
2
),F(1,0),
则以PF为直径的圆的方程是(x-1)2+(y-
3
4
)2=
9
16
,圆心为(1,
3
4
),半径为
3
4
,;
以椭圆长轴为直径的圆的方程是x2+y2=4,圆心是(0,0),半径是2,
两圆心距为


12+(
3
4
)2
=
5
4
=2-
3
4
,所以两圆内切.
核心考点
试题【已知椭圆的方程为:x2a2+y2b2=1(a>b>0),其中a2=4c,直线l:3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的两条互相垂直的直线与抛物线分别交于点A、B和C、D;抛物线上的点T(2,t)(t>0)到焦点的距离为3.
(1)求p、t的值;
(2)当四边形ACBD的面积取得最小值时,求直线AB的斜率.
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已知椭圆C的中心在坐标原点O,左顶点A(-2,0),离心率e=
1
2
,F为右焦点,过焦点F的直线交椭圆C于P、Q两点(不同于点A).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)当△APQ的面积S=
18


2
7
时,求直线PQ的方程;
(Ⅲ)求


OP


FP
的范围.
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已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1、F2,上顶点M(0,b),△MF1F2为正三角形且周长为6,直线l:x=my+4与椭圆C相交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求


OA


OB
的取值范围.
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设双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2,其一个顶点的坐标是(
1


3
,0)
;又直线l:y=kx+1与双曲线C相交于不同的A、B两点.
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点?若存在,求出k的值;若不存在,写出理由.
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已知三角形△ABC的两顶点为B(-2,0),C(2,0),它的周长为10,求顶点A轨迹方程.
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