题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁、F₂是其左右焦点，其离心率是

6

3

，P是椭圆上一点，△PF₁F₂的周长是2（

3

+

2

）．
（1）求椭圆的方程；
（2）试对m讨论直线y=2x+m（m∈R）与该椭圆的公共点的个数．

答案

（1）设椭圆的焦距是2c，据题意则有

c a = 6 3 2a+2c=2( 3 + 2 )

，
∴a=

3

，c=

2

，
∴b=1，
故椭圆的方程是

x2

3

+y2=1．…5分
（2）联立的方程组

y=2x+m x2 3 +y2=1

，整理得：13x²+12mx+3m²-3=0
其判别式△=144m²-52（3m²-3）=156-12m²．…8分
当△＜0即m＜-

13

或m＞

13

时，直线与椭圆无公共点；
当△=0即m=±

13

时，直线与椭圆恰有一个公共点；
当△＞0即-

13

＜m＜

13

时，直线与椭圆恰有两个不同公共点．…11分．