当前位置:高中试题 > 数学试题 > 曲线与方程的应用 > 设双曲线方程x2a2-y2b2=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为34c.(1)求双曲线的离心率;(2)...
题目
题型:不详难度:来源:
设双曲线方程
x2
a2
-
y2
b2
=1(b>a>0)
的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为


3
4
c

(1)求双曲线的离心率;
(2)经过该双曲线的右焦点且斜率为2的直线m被双曲线截得的弦长为15,求双曲线的方程.
答案
(1)b>a⇒b2a2c2-a2a2c2>2a2e2>2⇒e>


2
…(2分)
直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1
,即bx+ay-ab=0,由原点到直线l的距离为


3
4
c
d=
ab


a2+b2
=
ab
c
=


3
4
c
,即16a2(c2-a2)=3c4,…(4分)
两边同时除以a4得16(e2-1)=3e4,整理得3e4-16e2+16=0,解得e2=
4
3
或4
…(5分)
e>


2
,故双曲线的离心率为e=2…(6分)
(2)由(1)知道e=2即c=2a,所以设双曲线的方程为
x2
a2
-
y2
3a2
=1

又由题意得直线m方程为y=2(x-2a),代入双曲线方程得…(7分)
3x2-4(x-2a)2=3a2,整理得x2-16ax+19a2=0…(8分)
记直线m与双曲线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=16a,x1x2=19a2…(9分)∴|AB|=


1+k2
|x1-x2|=


(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=


5(256a2-76a2)
=30a=15
a=
1
2
…(11分)
∴所求双曲线方程为
x2
1
4
-
y2
3
4
=1
…(12分)
核心考点
试题【设双曲线方程x2a2-y2b2=1(b>a>0)的半焦距为c,直线l过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线l的距离为34c.(1)求双曲线的离心率;(2)】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
如图,在Rt△ABC中,∠CAB=90°,|AB|=2,|AC|=
3
2
,点A,B关于y轴对称.一曲线E过C点,动点P在曲线E上运动,且保持|PA|+|PB|的值不变.
(1)求曲线E的方程;
(2)已知点S(0,-


3
),T(0,


3
)
,求∠SPT的最小值;
(3)若点F(1,
3
2
)
是曲线E上的一点,设M,N是曲线E上不同的两点,直线FM和FN的倾斜角互补,试判断直线MN的斜率是否为定值,如果是,求出这个定值;如果不是,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
若直线y=kx+1与曲线x=


1-4y2
有两个不同的交点,则k的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点为F1(-1,0),离心率为


2
2

(1)求椭圆的标准方程;
(2)设过点F且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G的横坐标的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,⊙O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两定点,l是⊙O的一条动切线,若过A,B两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是(  )
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆

题型:不详难度:| 查看答案
如图,F1,F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的焦点,P为椭圆上的点,PF1⊥OX轴,且OP和椭圆的一条长轴顶点A和短轴顶点B的连线AB平行.
(1)求椭圆的离心率e
(2)若Q是椭圆上任意一点,证明∠F1QF2
π
2

(3)过F1与OP垂直的直线交椭圆于M,N,若△MF2N的面积为20


3
,求椭圆方程.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.