题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ) 求曲线的方程;
(Ⅱ) 若点在曲线上,线段的垂直平分线为直线,且成等差数列,求的值,并证明直线过定点;
(Ⅲ)若过定点(0,2)的直线交曲线于不同的两点、(点在点、之间),且满足,求的取值范围.
答案
解析
∵.
∴ 为线段的垂直平分线,∴ .
又∵ ,∴ .
∴ 动点的轨迹是以点(-1,0),(1,0)为焦点且长轴长为的椭圆. ……………………2分
∴ .
∴ 曲线的方程为. ……………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,曲线的轨迹为椭圆,为右焦点,其右准线方程为
设到直线的距离为.
根据椭圆的定义知,
得.
同理可得:,. ……………………5分
∵ 成等差数列,
∴ ,代入得. ……………………6分
下面证明直线过定点.
由,可设线段的中点为(.
∴ 得.
∴ 直线的斜率,则直线的方程为:,
即. ……………………8分
∴ 直线过定点,定点为. ……………………9分
(Ⅲ)当直线斜率存在时,设直线方程为,
代入椭圆,得.
由得. ……………………10分
设,, ①
. ②
又∵ ,
即. ∴ . ③
由①②③联立得,
即,整理得 . ………………12分
∵ ,∴ ,
∴ ,解得且.
又∵ , ∴ . ……………………13分
当直线斜率不存在时,直线方程为,此时,即.
∴ ,即所求的取值范围是. ……………………14分
核心考点
试题【如图所示,已知圆,定点,为圆上一动点,点在上,点在上,且满足,,点的轨迹为曲线.(Ⅰ) 求曲线的方程;(Ⅱ) 若点在曲线上,线段的垂直平分线为直线,且成等差数列】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
求适合下列条件的圆锥曲线方程:
(1).长轴长是短轴长的3倍,经过点(3,0)的椭圆标准方程。
(2).已知双曲线两个焦点的坐标为,双曲线上一点P到两焦点的距离之差的绝对值等于6,求双曲线标准方程.
(3).已知抛物线的顶点在原点,准线与其平行线x=2的距离为3,求抛物线标准方程.
已知A、B两点的坐标分别是(-1,0)、(1,0),直线相交于点,且它们的斜率之积为,求点的轨迹方程并判断轨迹形状。
且点是轴上动点,过点作线段的
垂线交轴于点,在直线上取点,使。
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)点是直线上的一个动点,
过点作轨迹的两条切线切点分别为,
求证:
A. | B. | C. | D. |
已知是曲线上一点,是该曲线的两个焦点,若内角平分线的交点到三边上的距离为1,,则的值为
A. | B. | C.- | D. |
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