题目

题型：不详难度：来源：

直角坐标平面上，为原点，为动点，，. 过点作轴于，过作轴于点，. 记点的轨迹为曲线，
点、，过点作直线交曲线于两个不同的点、（点在与之间）.
（1）求曲线的方程；
（2）是否存在直线，使得，并说明理由.

答案

（1）  （2）不存在直线l，使得|BP|=|BQ|

解析

试题分析：(Ⅰ)设点T的坐标为，点M的坐标为，则M₁的坐标为（0，），
，于是点N的坐标为，N₁的坐标
为，所以   
由
由此得   
由
即所求的方程表示的曲线C是椭圆.       
(Ⅱ)点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C
无交点，所以直线l斜率存在，并设为k. 直线l的方程为    
由方程组
依题意   
当时，设交点PQ的中点为，
则
 
又     

而不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|.  
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．当涉及直线与圆锥曲线的位置关系时，常需要把直线方程与圆锥曲线的方程联立，借助韦达定理求得答案．