题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若在椭圆上的点处的椭圆的切线方程是. 求证:直线恒过定点;并出求定点的坐标.
(Ⅲ)是否存在实数,使得恒成立?(点为直线恒过的定点)若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
答案
(III)存在实数,使得。
解析
试题分析:(I)设椭圆方程为。抛物线的焦点是,故,又,所以,
所以所求的椭圆方程为 3分
(II)设切点坐标为,,直线上一点M的坐标。
则切线方程分别为,。
又两切线均过点M,即,即点A,B的坐标都适合方程,
而两点之间确定唯一的一条直线,故直线AB的方程是,
显然对任意实数t,点(1,0)都适合这个方程,故直线AB恒过定点。 6分
(III)将直线AB的方程,代入椭圆方程,得
,即
所以 ..8分
不妨设
,同理 10分
所以
即。
故存在实数,使得。 12分
点评:难题,曲线关系问题,往往通过联立方程组,得到一元二次方程,运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时,主要运用了椭圆的几何性质。对于存在性问题,往往先假设存在,利用已知条件加以探究,以明确计算的合理性。本题(III)通过假设,利用韦达定理进一步确定相等长度,求得了的值,达到证明目的。
核心考点
试题【已知中心在原点,焦点在坐标轴上的椭圆,它的离心率为,一个焦点和抛物线的焦点重合,过直线上一点引椭圆的两条切线,切点分别是.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若在椭圆上的】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设直线l:y=kx与椭圆C交于A,B两点,点P为椭圆的右顶点.
(ⅰ)若直线l斜率k=1,求△ABP的面积;
(ⅱ)若直线AP,BP的斜率分别为,,求证:为定值.
的渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程;
(2) 过该双曲线的右焦点作斜率不为零的直线与此双曲线的左,右两支分别交于点、,
设,当轴上的点满足时,求点的坐标.
A.5 | B.4 | C.3 | D.2 |
A. | B. |
C. | D. |
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