题目

题型：不详难度：来源：

设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为 ， 在轴负半轴上有一点，且

（1）若过三点的圆 恰好与直线相切，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆C交于两点，在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．

答案

（1）；（2）存在满足题意的点且的取值范围是。

解析

试题分析：（1）由题意，得，所以 
又  由于，所以为的中点，
所以
所以的外接圆圆心为，半径  3分
又过三点的圆与直线相切，
所以解得，
所求椭圆方程为   6分
（2）有（1）知,设的方程为：
将直线方程与椭圆方程联立
,整理得
设交点为，因为
则  8分
若存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形，
由于菱形对角线垂直，所以
又 
又的方向向量是，故，则
，即
由已知条件知  11分
，故存在满足题意的点且的取值范围 是  13分
点评：难题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题求椭圆标准方程时，主要运用了椭圆的几何性质。对于存在性问题，往往先假设存在，利用已知条件加以探究，以明确计算的合理性。本题（III）通过确定m的表达式，利用函数思想，通过求函数的最值，确定得到其范围。