题目
题型:不详难度:来源:
(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求证:k1•k2为定值.
(2)求证:直线PQ过定点.
答案
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),用其坐标表示出两个切线的方程,因为A点是两切线的交点将其坐标代入两切线方程,观察发现P(x1,y1),Q(x2,y2)的坐标都适合方程2ax﹣y+1=0上,因为两点确定一条直线,故可得过这两点的直线方程必为2ax﹣y+1=0,该线过定点(0,1)故证得.
解析
试题分析:(1)设过A作抛物线y=x2的切线的斜率为k,
则切线的方程为y+1=k(x﹣a),
与方程y=x2联立,消去y,得x2﹣kx+ak+1=0.
因为直线与抛物线相切,所以△=k2﹣4(ak+1)=0,
即k2﹣4ak﹣4=0.由题意知,此方程两根为k1,k2,
∴k1k2=﹣4(定值).(5分)
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由y=x2,得y′=2x.
所以在P点处的切线斜率为:
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因此,切线方程为:y﹣y1=2x1(x﹣x1).
由y1=x12,化简可得,2x1x﹣y﹣y1=0.
同理,得在点Q处的切线方程为2x2x﹣y﹣y2=0.
因为两切线的交点为A(a,﹣1),故2x1a﹣y1+1=0,2x2a﹣y2+1=0.
∴P,Q两点在直线2ax﹣y+1=0上,即直线PQ的方程为:2ax﹣y+1=0.
当x=0时,y=1,所以直线PQ经过定点(0,1).(10分)
点评:本题考查转化的技巧,(I)将两斜率之积为定值的问题转化 成了两根之积来求,(II)中将求两动点的连线过定点的问题 转化成了求直线系过定点的问题,转化巧妙,有艺术性.
核心考点
试题【过直线y=﹣1上的动点A(a,﹣1)作抛物线y=x2的两切线AP,AQ,P,Q为切点.(1)若切线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,求证:k1•k2为定值.(2】;主要考察你对曲线与方程的应用等知识点的理解。[详细]
举一反三
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