题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆的左右焦点分别是，离心率，为椭圆上任一点，且的最大面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设斜率为的直线交椭圆于两点，且以为直径的圆恒过原点，若实数满足条件，求的最大值.

答案

（Ⅰ）椭圆的方程；（Ⅱ）的最大值为.

解析

试题分析：（Ⅰ）依题意得：，这是一个关于的方程组，解这个方程组便可得的值，从而得椭圆的方程.
（Ⅱ）设，由于以为直径的圆恒过原点，所以，即……………………………………………………①
设直线的方程，联立方程组，再由根与系数的关系可得：、，代入①便得一个含的等式.
将变形化简得：.
因此，要求的最大值，只需求的最大值，而可以用含的式子表示出来，再利用前面含的等式换掉一个变量，得一个只含一个变量的式子，再利用求函数最值的方法，便可求出其最大值.
试题解析：（Ⅰ）依题意得：，解得：，
于是：椭圆的方程，
（Ⅱ）设直线的方程由得：，
设，则.
由于以为直径的圆恒过原点，于是，即，
又，
于是：，即
依题意有：，即.
化简得：.
因此，要求的最大值，只需求的最大值，下面开始求的最大值：
.
点到直线的距离，于是：.
又因为，所以，
代入得.
令，
于是：.
当即，即时，取最大值，且最大值为.
于是：的最大值为.