题目

题型：不详难度：来源：

已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当点为直线上的定点时，求直线的方程；
（Ⅲ）当点在直线上移动时，求的最小值．

答案

(1)  (2)  (3)

解析

试题分析： (1)利用点到直线的距离公式直接求解C的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点P，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理和抛物线定义将进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最值，需注意变量的范围.
试题解析：（1）依题意，解得（负根舍去）        （2分）
抛物线的方程为；                                         （4分）
（2）设点,，，由,即得. 
∴抛物线在点处的切线的方程为，即.  （5分）
∵， ∴ .   ∵点在切线上,  ∴.       ①
同理， . ② （6分）
综合①、②得，点的坐标都满足方程 . （7分）
∵经过两点的直线是唯一的，∴直线 的方程为，即； （8分）
（3）由抛物线的定义可知， （9分）
所以联立，消去得，
   （10分）
    （11分）
当时，取得最小值为                          （12分）