题目

题型：不详难度：来源：

如图，矩形ABCD中，|AB|＝2，|BC|＝2．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，分别以HF，EG所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，已知＝λ，＝λ，其中0＜λ＜1．

（1）求证：直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y²＝1上；
（2）若点N是直线l：y＝x＋2上且不在坐标轴上的任意一点，F₁、F₂分别为椭圆Γ的左、右焦点，直线NF₁和NF₂与椭圆Γ的交点分别为P、Q和S、T．是否存在点N，使得直线OP、OQ、OS、OT的斜率k_OP、k_OQ、k_OS、k_OT满足k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝0？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

（1）见解析（2）满足条件的点N存在，其坐标为

解析

试题分析：根据条件，可用参数表示点的坐标，两点式写出直线的方程，并求出它们的交点的坐标，消去参数即可得证.（2）假设存在点在直线上，使,
设， ，, ， 直线的斜率为，直线的斜率为 ，可写出两直线的方程，并分别与椭圆方程联立组成方程级，利用一元二次方程根与系数的关系，结合条件探究与的关系，从而确定关于的方程的根的存在性，也就是点的存在性.
试题解析：（1）由已知，得F(，0)，C(，1)．
由＝λ，＝λ，得R(λ，0)，R′(，1－λ)．
又E(0，－1)，G(0，1)，则
直线ER的方程为y＝x－1，      ①
直线GR′的方程为y＝－x＋1．     ②
由①②，得M(，)．
∵＋()²＝＝＝1，
∴直线ER与GR′的交点M在椭圆Γ：＋y²＝1上．          5分
（2）假设满足条件的点N(x₀，y₀)存在，则
直线NF₁的方程为y＝k₁(x＋1)，其中k₁＝，
直线NF₂的方程为y＝k₂(x－1)，其中k₂＝．
由消去y并化简，得(2k₁²＋1)x²＋4k₁²x＋2k₁²－2＝0．
设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，则x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝．
∵OP，OQ的斜率存在，∴x₁≠0，x₂≠0，∴k₁²≠1．
∴k_OP＋k_OQ＝＋＝＋＝2k₁＋k₁·＝k₁(2－)＝－．
同理可得k_OS＋k_OT＝－．
∴k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝－2(＋)＝－2·＝－．
∵k_OP＋k_OQ＋k_OS＋k_OT＝0，∴－＝0，即(k₁＋k₂)(k₁k₂－1)＝0．
由点N不在坐标轴上，知k₁＋k₂≠0，
∴k₁k₂＝1，即·＝1．     ③
又y₀＝x₀＋2，                     ④
解③④，得x₀＝－，y₀＝．
故满足条件的点N存在，其坐标为（－，）．            13分