题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆：的离心率为，右焦点到直线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点F₂斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证：为定值．

答案

（1）．（2）证明见解析.

解析

试题分析：（1）利用椭圆的几何性质，建立的方程组即得；
（2）要证明为定值，须从确定两直线斜率的表达式入手.根据题目的条件，应注意设出的直线方程，并与椭圆方程联立，应用韦达定理，建立与坐标的联系；确定的坐标，将斜率用坐标表示.得到，的关系即得证.
设过点 的直线方程为：，，点，
将代入椭圆整理得： 
应用韦达定理   ；
根据直线的方程为：，直线的方程为：
令，得点，，点 ；
由直线 的斜率为
，
将代入上式得到，的关系即得证.
试题解析：（1）由题意得，，                      2分
所以，，所求椭圆方程为．                  4分
（2）设过点 的直线方程为：，
设点，点                                         5分
将直线方程代入椭圆
整理得：                           6分
因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，
且                         7分
直线的方程为：，直线的方程为：
令，得点，，
所以点的坐标                            9分
直线 的斜率为
      11分
将代入上式得：

所以为定值                                       13分