题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分13分）已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；
（2）已知点A(m,2)在曲线C上,过点A作曲线C的两条弦AD,AE,且AD,AE的斜率k₁、k₂满足，试推断：动直线DE是否过定点？证明你的结论。

答案

（1）动点的轨迹的方程 （2）直线DE过定点(-1,-2)

解析

（1）设，则，∵，
∴． ，
所以动点的轨迹的方程．                        ………５分
（2）将A(m,2)代入得m="1," ∴A(1,2)     …………………………６分
法一: ∵两点不可能关于x轴对称，∴DE不斜率必存在
设直线DE的方程为
由得
∴………………………８分
∵且
∴ …………………９分
将代入化简得
…………………………………10分
将b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k(x+1)-2,过定点(-1,-2)…………11分
将b=2-k代入y=kx+b
得y=kx+2-k=k(x-1)+2,过定点(1,2)即为A点，舍去
∴直线DE过定点（-1，-2） …………………………………………13分
法二：设，(5分)则     ……７分
同理,由已知得
  …………9分
设直线DE的方程为x=ty+n代入
得     …………10分
∴,直线DE的方程为  …12分
即直线DE过定点(-1,-2)       ………13分