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题目
题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA.

(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)若Q是轨迹C上异于点P的一个点,且=λ,直线OP与QA交于点M,问:是否存在点P,使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA=2S△PAM?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
答案
(1)y=x2(x≠0且x≠-1)(2)(1,1)
解析
(1)设点P(x,y)为所求轨迹上的任意一点,则由kOP+kOA=kPA
整理得轨迹C的方程为y=x2(x≠0且x≠-1).

(2)设P(x1),Q(x2,M(x0,y0),
=λ可知直线PQ∥OA,则kPQ=kOA,故,即x2+x1=-1,
由O、M、P三点共线可知,=(x0,y0)与=(x1)共线,
∴x0-x1y0=0,由(1)知x1≠0,故y0=x0x1
同理,由=(x0+1,y0-1)与=(x2+1,-1)共线可知(x0+1)(-1)-(x2+1)(y0-1)=0,即(x2+1)[(x0+1)·(x2-1)-(y0-1)]=0,
由(1)知x2≠-1,故(x0+1)(x2-1)-(y0-1)=0,
将y0=x0x1,x2=-1-x1代入上式得(x0+1)(-2-x1)-(x0x1-1)=0,
整理得-2x0(x1+1)=x1+1,由x1≠-1得x0=-,由S△PQA=2S△PAM,得到QA=2AM,
∵PQ∥OA,∴OP=2OM,∴=2,∴x1=1,∴P的坐标为(1,1)
核心考点
试题【在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,1),P是动点,且△POA的三边所在直线的斜率满足kOP+kOA=kPA.(1)求点P的轨迹C的方程;(2)若Q是轨迹】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知点是抛物线上的点,则以点为切点的抛物线的切线方程为
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(本题满分共15分)已知抛物线的焦点F到直线的距离为
(1)求抛物线的方程;
(2)如图,过点F作两条直线分别交抛物线于ABC、D,过点F作垂直于轴的直线分别交于点.
求证:
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已知抛物线
(1)若圆心在抛物线上的动圆,大小随位置而变化,但总是与直线相切,求所有的圆都经过的定点坐标;
(2)抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率;
(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件.
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已知抛物线的焦点为,过点的直线相交于两点,点关于轴的对称点为.
(Ⅰ)证明:点在直线上;
(Ⅱ)设,求的平分线与轴的交点坐标.
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若抛物线的离心率,则该抛物线准线方程是(   )
A.B.C.D.

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