题目

题型：不详难度：来源：

设点是抛物线的焦点，是抛物线上的个不同的点（）.
（1） 当时，试写出抛物线上的三个定点、、的坐标，从而使得
；
（2）当时，若，
求证：；
（3） 当时，某同学对（2）的逆命题，即：
“若，则.”
开展了研究并发现其为假命题.
请你就此从以下三个研究方向中任选一个开展研究：
① 试构造一个说明该逆命题确实是假命题的反例（本研究方向最高得4分）；
② 对任意给定的大于3的正整数，试构造该假命题反例的一般形式，并说明你的理由（本研究方向最高得8分）；
③ 如果补充一个条件后能使该逆命题为真，请写出你认为需要补充的一个条件，并说明加上该条件后，能使该逆命题为真命题的理由（本研究方向最高得10分）.
【评分说明】本小题若填空不止一个研究方向，则以实得分最高的一个研究方向的得分作为本小题的最终得分.

答案

见解析

解析

第一问利用抛物线的焦点为，设，
分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.
由抛物线定义得到
第二问设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.
由抛物线定义得


第三问中①取时，抛物线的焦点为，
设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，
则，不妨取；；；
解：（1）抛物线的焦点为，设，
分别过作抛物线的准线的垂线，垂足分别为.由抛物线定义得


因为，所以，
故可取满足条件.
（2）设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.
由抛物线定义得


  又因为

；
所以.
（3） ①取时，抛物线的焦点为，
设，分别过作抛物线的准线垂线，垂足分别为.由抛物线定义得

，
则，不妨取；；；，
则，
.
故，，，是一个当时，该逆命题的一个反例.(反例不唯一)
② 设，分别过作
抛物线的准线的垂线，垂足分别为，
由及抛物线的定义得
，即.
因为上述表达式与点的纵坐标无关，所以只要将这点都取在轴的上方，则它们的纵坐标都大于零，则

，
而，所以.
（说明：本质上只需构造满足条件且的一组个不同的点，均为反例.）
③ 补充条件1：“点的纵坐标（）满足 ”，即：
“当时，若，且点的纵坐标（）满足，则”.此命题为真.事实上，设，
分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，由，
及抛物线的定义得，即，则

，
又由，所以，故命题为真.
补充条件2：“点与点为偶数，关于轴对称”，即：
“当时，若，且点与点为偶数，关于轴对称，则”.此命题为真.（证略）