当前位置:高中试题 > 数学试题 > 抛物线的定义与方程 > 已知过曲线上任意一点作直线的垂线,垂足为,且.⑴求曲线的方程;⑵设、是曲线上两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且为定值时,证明直线恒过定点,并求出该定点...
题目
题型:不详难度:来源:
已知过曲线上任意一点作直线的垂线,垂足为,且.
⑴求曲线的方程;
⑵设是曲线上两个不同点,直线的倾斜角分别为
变化且为定值时,证明直线恒过定点,
并求出该定点的坐标.
答案
 
⑵当时,直线恒过定点,当时直线恒过定点.
解析

试题分析:⑴要求曲线方程,但是不知道是哪种曲线,所以只能设点.根据,转化为求曲线方程即可;
⑵要证明直线恒过定点,必须得有直线方程,所以首先设出直线方程.又因为两个角是直线的倾斜角,所以点也得设出来.利用韦达定理,然后讨论的范围变化,证明并得出定点坐标.
试题解析:⑴设,则,由,;
;所以轨迹方程为;
⑵设,由题意得(否则)且,
所以直线的斜率存在,设其方程为
因为在抛物线上,所以
联立消去,得;
由韦达定理知①;
(1)当时,即时,,所以
,所以.由①知:,所以
因此直线的方程可表示为,即.
所以直线恒过定点
(2)当时,由,得==
将①式代入上式整理化简可得:,所以
此时,直线的方程可表示为,
,所以直线恒过定点;
所以由(1)(2)知,当时,直线恒过定点
时直线恒过定点.           12分
核心考点
试题【已知过曲线上任意一点作直线的垂线,垂足为,且.⑴求曲线的方程;⑵设、是曲线上两个不同点,直线和的倾斜角分别为和,当变化且为定值时,证明直线恒过定点,并求出该定点】;主要考察你对抛物线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知,直线为平面上的动点,过点的垂线,垂足为点,且
(1)求动点的轨迹曲线的方程;
(2)设动直线与曲线相切于点,且与直线相交于点,试探究:在坐标平面内是否存在一个定点,使得以为直径的圆恒过此定点?若存在,求出定点的坐标;若不存在,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
为抛物线的焦点,为该抛物线上三点,若,则(   )
A.B.C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
在平面直角坐标系xoy中,以点P为圆心的圆与圆x2+y2-2y=0外切且与x轴相切(两切点不重合).
(1)求动点P的轨迹方程;
(2)若直线mx一y+2m+5=0(m∈R)与点P的轨迹交于A、B两点,问:当m变化时,以线段AB为直径的圆是否会经过定点?若会,求出此定点;若不会,说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,抛物线的焦点为F,斜率的直线过焦点F,与抛物线交于A、B两点,若抛物线的准线与x轴交点为N,则(  )

A. 1  B.   C.    D.
题型:不详难度:| 查看答案
如图已知抛物线过点,直线两点,过点且平行于轴的直线分别与直线轴相交于点

(1)求的值;
(2)是否存在定点,当直线过点时,△与△的面积相等?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.