题目

题型：不详难度：来源：

如图，过抛物线C：y²＝4x上一点P(1，－2)作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线交于点A(x_，y₁)，B(x₂，y₂)．

(1)求y₁＋y₂的值；
(2)若y₁≥0，y₂≥0，求△PAB面积的最大值．

答案

（1）y₁＋y₂＝4.（2）6

解析

(1)因为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)在抛物线C：y²＝4x上，所以A，B，k_PA＝，同理k_PB＝，依题意有k_PA＝－k_PB，因为＝－，所以y₁＋y₂＝4
(2)由(1)知k_AB＝＝1，设AB的方程为y－y₁＝x－，即x－y＋y₁－＝0，P到AB的距离为d＝，AB＝·＝|y₁－y₂|＝2|2－y₁|，所以S_△PAB＝××2|2－y₁|＝|－4y₁－12||y₁－2|＝|(y₁－2)²－16|·|y₁－2|，令y₁－2＝t，由y₁＋y₂＝4，y₁≥0，y₂≥0，可知－2≤t≤2.S_△PAB＝|t³－16t|，因为S_△PAB＝|t³－16t|为偶函数，只考虑0≤t≤2的情况，记f(t)＝|t³－16t|＝16t－t³，f′(t)＝16－3t²>0，故f(t)在[0，2]是单调增函数，故f(t)的最大值为f(2)＝24，故S_△PAB的最大值为6