题目

题型：湖北省高考真题难度：来源：

在平面直角坐标系xOy中，过定点C（0，p）作直线与抛物线x²=2py（p＞0）相交于A、B两点。
（1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
（2）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的张长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。

答案

解：（1）依题意，点N的坐标为，可设
直线AB的方程为，与联立得
，消去y得
由韦达定理得，
于是


∴当，。
（2）假设满足条件的直线l存在，其方程为，
设AC的中点为，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H
则，点的坐标为
∵

∴

∴
令，得，此时为定值，故满足条件的直线l存在，
其方程为
即抛物线的通径所在的直线。