题目

题型：专项题难度：来源：

已知四点O（0，0），，M（0，1），N（0，2），点P（x₀，y₀）在抛物线x²=2y上。
（1）当x₀=3时，延长PN交抛物线于另一点Q，求∠POQ的大小；
（2）当点P（x₀，y₀）（x₀≠0）在抛物线x²=2y上运动时，
（i）以MP为直径作圆，求该圆截直线所得的弦长；
（ii）过点P作x轴的垂线交x轴于点A，过点P作该抛物线的切线l交x轴于点B，问：是否总有∠FPB=∠BPA？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例。

答案

解：（1）当x₀=3时，
直线PN：代入x²=2y，
得或3，
所以

所以∠POQ=90°。
（2）（i）以MP为直径的圆的圆心为
 
所以圆的半径
圆心到直线的距离
故截得的弦长
=2。
（ii）总有∠FPB=∠BPA
证明：，y"=x，
所以切线l的方程为
即
令y=0，得，
所以点B的坐标为
点B到直线PA的距离为
下面求直线PF的方程
因为
所以直线PF的方程为
整理得
所以点B到直线PF的距离为

所以d₁=d₂，
所以∠FPB=∠BPA。