题目
题型：不详难度：来源：
（1）求抛物线的方程；
（2）若kPA+kPB=0，求证直线AB的斜率为定值，并求出其值；
（3）若kPA•kPB=1，求证直线AB恒过定点，并求出其坐标．
答案
因抛物线过点（2，4），故42=4p，p=4，抛物线方程为y2=8x．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则kPA=
| y1-4 |
| x1-2 |
| y1-4 | ||||
|
| 8 |
| y1+4 |
同理kPB=
| 8 |
| y2+4 |
| 8 |
| y1+y2 |
∵kPA+kPB=0，
∴
| 8 |
| y1+4 |
| 8 |
| y2+4 |
| 8 |
| y1+4 |
| 8 |
| -y2-4 |
∴kAB=-1．
即直线AB的斜率恒为定值，且值为-1．
（3）∵kPAkPB=1，
∴
| 8 |
| y1+4 |
| 8 |
| y2+4 |
∴y1y2+4（y1+y2）-48=0．
直线AB的方程为y-y1=
| 8 |
| y1+y2 |
| ||
| 8 |
将y1y2=-4（y1+y2）+48代入上式得
（y1+y2）（y+4）=8（x+6），该直线恒过定点（-6，-4），命题得证．
核心考点
试题【设顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线过点P（2，4），过P作抛物线的动弦PA，PB，并设它们的斜率分别为kPA，kPB．（1）求抛物线的方程；（2）若kPA+kP】；主要考察你对抛物线等知识点的理解。[详细]
举一反三
| 1 |
| 2 |
（1）求该抛物线的方程；
（2）设M（x0，y0）为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点（x0+2，-y0）．
（3）直线x+my+1=0与抛物线交于E，F两点，在抛物线上是否存在点N，使得△NEF为以EF为斜边的直角三角形．
| OC |
| OM |
| ON |
（Ⅰ）求证：
| OA |
| OB |
（Ⅱ）在x轴上是否存在一点P（m，0）（m∈R），使得过P点的直线交抛物线于D、E两点，并以该弦DE为直径的圆都过原点．若存在，请求出m的值及圆心的轨迹方程；若不存在，请说明理由．