题目
题型:江苏省月考题难度:来源:
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(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)若直线FG与直线l交于点T,且G为线段FT的中点,求直线FG被圆C所截得的弦长;
(Ⅲ)在平面上是否存在定点P,使得对圆C上任意的点G有
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答案
解:(Ⅰ)由双曲线E: ,得l:x=﹣4,C(﹣4,0),F(﹣6,0).
又圆C过原点,所以圆C的方程为(x+4)2+y2=16.
(Ⅱ)由题意,设G(﹣5,yG),代入(x+4)2+y2=16,得 ,
所以FG的斜率为 ,FG的方程为
.
所以C(﹣4,0)到FG的距离为 ,
直线FG被圆C截得的弦长为
(Ⅲ)设P(s,t),G(x0,y0),则由 ,
得
整理得3(x02+y02)+(48+2s)x0+2ty0+144﹣s2﹣t2=0.①
又G(x0,y0)在圆C:(x+4)2+y2=16上,所以x02+y02+8x0=0 ②
②代入①,得(2s+24)x0+2ty0+144﹣s2﹣t2=0.
又由G(x0,y0)为圆C上任意一点可知,
解得:s=﹣12,t=0.
所以在平面上存在一定点P,其坐标为(﹣12,0).
核心考点
试题【已知双曲线E:的左焦点为F,左准线l与x轴的交点是圆C的圆心,圆C恰好经过坐标原点O,设G是圆C上任意一点.(Ⅰ)求圆C的方程;(Ⅱ)若直线FG与直线l交于点T】;主要考察你对双曲线的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
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(1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,
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(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A、B两点,当
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