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题目
题型:昆明模拟难度:来源:
已知双曲线E:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的渐近线与抛物线C:y=x2+1相切于第一象限内的点P.
(I)求点P的坐标及双曲线E的离心率;
(II)记过点P的渐近线为l1,双曲线的右焦点为F,过点F且垂直于l1的直线l2与双曲线E交于A、B两点.当△PAB的面积为
40
3
时,求双曲线E的方程.
答案
(I)设切点P的坐标为(x0
x20
+1)
,则切线的斜率为(x2+1)′|x=x0=2x0…(1分)
因为双曲线E的渐近线y=
b
a
x
与抛物线C相切,所以2x0=
b
a

x20
+1=
b
a
x0

由①、②消去x0得:(
b
2a
)2+1=
b2
2a2
,即b2=4a2,…(3分)
又c2=a2+b2,所以c2-a2=4a2,c2=5a2
e2=
c2
a2
=5,e=


5
.…(4分)
由①、②还可得
x20
+1=2
x20
,即x0=±1,
又P在第一象限,从而切点P的坐标为(1,2)…%分
(II)由(I)得l1的方程为y=2x,点F的坐标为(


5
a,0)
,双曲线E的方程为4x2-y2=4a2
因为l1⊥l2,所以l2的方程为y=-
1
2
(x-


5
a)






y=-
1
2
(x-


5
a)
4x2-y2=4a2
消去y得:15x2+2


5
ax-21a2=0

从而xA+xB=-
2


5
15
a,xAxB=-
7
5
a2

|AB|=


1+(-
1
2
)
2


(xA+xB)2-4xAxB
=


5
4


(-
2


5
15
a)
2
+
28
5
a2
=
8
3
a
.…(7分)
由点到直线的距离公式得△PAB的高h=|a-


5
|
.…(8分)
所以△PAB的面积S=
4
3
a|a-


5
|=
40
3

当0<a<5时,a(a-


5
)=10
,即a2-


5
a+10=0
,无实数解;
当a≥5时,a(a-


5
)=10
,即a2-


5
a+10=0

解得a=2


5
a=-


5
(舍去)…(11分)
a=2


5
,b=2a=4


5

所以所求方程为
x2
20
-
y2
80
=1
.…(12分)
核心考点
试题【已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C:y=x2+1相切于第一象限内的点P.(I)求点P的坐标及双曲线E的离心率;(II)记过】;主要考察你对双曲线的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+y2-4x+2=0相切,则该双曲线的离心率为______.
题型:浙江模拟难度:| 查看答案
等轴双曲线Σ的中心在原点,焦点在x轴上,Σ与抛物线y=
1
4
x2
的准线交于P、Q两点,若|PQ|=4,则Σ的实轴长为(  )
A.2


3
B.3C.2D.


3
题型:江门一模难度:| 查看答案
斜率为


3
的直线与双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1
恒有两个公共点,则双曲线离心率的取值范围是(  )
A.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(1,


3
D.(


3
,+∞)
题型:泰安二模难度:| 查看答案
已知F1,F2分别是双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
的左、右焦点,过F2与双曲线的一条渐进线平行的直线交另一条渐进线于点M,若∠F1MF2为锐角,则双曲线离心率的取值范围是(  )
A.(1,


2
)
B.(


2
,+∞)
C.(1,2)D.(2,+∞)
题型:日照二模难度:| 查看答案
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)(a>0,b>0)的一条渐近线与曲线y=


2x-1
相切,则该双曲线的离心率为(  )
A.


2
B.


3
C.2D.2


2
题型:成都二模难度:| 查看答案
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