题目

题型：不详难度：来源：

已知点F是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

A．（1，+∞）

B．（1，2）

C．（1，1+ 2 ）

D．（2，1+ 2 ）

答案

根据双曲线的对称性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AFE中，∠AEF＜45°，得|AF|＜|EF|
∵|AF|=

b2

a

=

c2-a2

a

，|EF|=a+c
∴

c2-a2

a

＜a+c，即2a²+ac-c²＞0
两边都除以a²，得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）
故选：B