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题目
题型:不详难度:来源:
已知双曲线C:(a>b>0)的一个焦点为,离心率为.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为双曲线外一点,且点P到双曲线C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程。
答案
(1)
(2)x2+y2=5
解析
(1)设双曲线C的半焦距为c,则,所以a=3,从而b2=c2-a2=4,故双曲线C的方程是
(2)依题意,过点P引双曲线的两条相互垂直切线的斜率存在且不为0,不妨设切线的斜率为k,则过点P的切线方程为y-y0=k(x-x0).
联立方程组得(4-9k2)x2-18k(y0-kx0)x-9(y0-kx0)2-36=0,
因为直线与双曲线相切,

即(x02-9)k2-2x0y0k+y02+4=0
因为两条切线相互垂直,所以k1k2=-1,即,故x02+y02=5.
所以点P的轨迹方程为x2+y2=5.
核心考点
试题【已知双曲线C:(a>b>0)的一个焦点为,离心率为.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若动点P(x0,y0)为双曲线外一点,且点P到双曲线C的两条切】;主要考察你对双曲线的定义与方程等知识点的理解。[详细]
举一反三
双曲线的渐近线方程为     
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双曲线的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D,则该双曲线的离心率e=     
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双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是抛物线y2=8x的焦点F,两曲线的一个公共点为P,且|PF| =5,则此双曲线的离心率为(   )
A.B.C.2D.

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双曲线=1的焦点到渐近线的距离为(   )
A.2B.3 C.4D.5

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在平面直角坐标系中,已知中心在坐标原点的双曲线经过点,且它的右焦点与抛物线的焦点相同,则该双曲线的标准方程为     
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