题目

题型：高考真题难度：来源：

设F₁，F₂分别是椭圆E：（a>b>0）的左、右焦点，过F₁斜率为1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差数列。
（1）求E的离心率；
（2）设点P（0，-1）满足|PA|=|PB|，求E的方程。

答案

解：（1）由椭圆定义知|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF₂|+|BF₂|，得|AB|=
l的方程为y=x+c，其中
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A，B两点坐标满足方程组
 化简得（a²+b²）x²+2a²cx+a²（c²-b²）=0
则
因为直线AB的斜率为1
所以
得
故a²=2b²
所以E的离心率；
（2）设AB的中点为N（x₀，y₀），由（1）知

由|PA|=|PB|得k_PN=-1
即得c=3，从而
故椭圆E的方程为。