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题目
题型:不详难度:来源:
设O为坐标原点,F1,F2是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点,若在椭圆上存在点P满足F1PF2=
π
3
,且|OP|=


3
2
a
,则该椭圆的离心率为______.
答案
令|


PF1
|=m,|


PF2
|=n,m+n=2a.


PO
=
1
2


PF1
+


PF2
),|


PO
|
=


3
2
a,


PO
2
=
1
4


PF1
2
+2


PF1


PF2
+


PF2
2

3
4
a2=
1
4
(m2+2mncos
π
3
+n2),
∴3a2=m2+n2+mn=(m+n)2-mn=4a2-mn,
∴a2=mn.
在△PF1F2中,由余弦定理得:|F1F2|2=m2+n2-2mn×
1
2
=(m+n)2-3mn,
即4c2=4a2-3mn=4a2-3a2=a2
∴e=
c
a
=
1
2

故答案为:
1
2
核心考点
试题【设O为坐标原点,F1,F2是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若在椭圆上存在点P满足∠F1PF2=π3,且|OP|=32a,则该椭圆的离心率】;主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
椭圆
x2
m
+
y2
4
=1
的离心率e=


2
2
,则m=______.
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P为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个,则椭圆离心率的取值范围是(  )
A.(


2
2
,1)
B.(


3
2
,1)
C.(0,


2
2
)
D.[


2
2
,1)
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椭圆
x2
m
+
y2
15
=1
的焦距等于2,则m的值是(  )
A.5或3B.5C.16或14D.16
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若椭圆
x2
9
+
y2
m+9
=1
的离心率为
1
2
,则m 的值等于(  )
A.-
9
4
B.
1
4
C.-
9
4
或3
D.
1
4
或3
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若双曲线的顶点为椭圆x2+
y2
2
=1
长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程是(  )
A.x2-y2=1B.y2-x2=1C.x2-y2=2D.y2-x2=2
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