当前位置:高中试题 > 数学试题 > 椭圆的几何性质 > 已知直线l:y=x+1与曲线C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.(Ⅰ)若|OA|=|OB|,求证:曲线C是一个圆;(...
题目
题型:不详难度:来源:
已知直线l:y=x+1与曲线C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于不同的两点A,B,O为坐标原点.
(Ⅰ)若|OA|=|OB|,求证:曲线C是一个圆;
(Ⅱ)若OA⊥OB,当a>b且a∈[


6
2


10
2
]
时,求曲线C的离心率e的取值范围.
答案
(Ⅰ)证明:设直线L与曲线C的交点为A(x1,y1)B(x2,y2
∵|OA|=|OB|


x12+y12
=


x22+y22
即:x12+y12=x22+y22
∴x12-x22=y22-y12
∵A,B在C上
x1 2
a2
+
y1 2
b2
=1
x2 2
a2
+
y2 2
b2
=1

∴两式相减得:x1 2-x2 2=
a2
b2
(y2 2-y1 2)

a2
b2
=1
即:a2=b2
∴曲线C是一个圆
(Ⅱ)设直线L与曲线C的交点为A(x1,y1)B(x2,y2),
∵a>b>o
∴曲线C是焦点在x轴上的椭圆
∵OA⊥OB
y1
x1
y2
x2
=-1
即:y1y2=-x1x2
将y=x+1代入b2x2+a2y2-a2b2=0整理得:
(b2+a2)x2+2a2+a2-a2b2=0
x1+x2=-
2a2
b2+a2
x1x2=
a2(1-b2 )
b2+a2

∵A,B在L上∴y1y2=(x1+1)(x2+1)=x1•x2+x2+x1+1
又∵y1y2=-x1x2
∴2x1x2+x2+x1+1=0
∴2
(1-b2)a2
b2+a2
+
(-
2a2
b2+a2
)+1=0

∴b2+a2-2b2a2=0
∴a2+a2-c2-2a2(a2-c2)=0
∴2a4-2a2+c2-2c2a2=0
c2 =
2a2(a2-1)
2a2-1

e2=
c2
a2
=
2(a2-1)
2a2-1
=1-
1
2a2-1

a∈[


6
2


10
2
]

∴2a2-1∈[2,4]
1-
1
2a2-1
∈[
1
2
3
4
]
e∈[


2
2


3
2
]
核心考点
试题【已知直线l:y=x+1与曲线C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)交于不同的两点A,B,O为坐标原点.(Ⅰ)若|OA|=|OB|,求证:曲线C是一个圆;(】;主要考察你对椭圆的几何性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知椭圆
x2
a2
+
y2
12
=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则该椭圆的离心率为(  )
A.
1
4
B.
1
2
C.


3
2
D.


3
4
题型:温州一模难度:| 查看答案
某同学同时掷两颗骰子,得到点数分别为a,b,则椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的离心率e>


3
2
概率为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆E过点(0,1),离心率为


2
2

(I)求椭圆E的方程;
(II)若直线l过椭圆E的左焦点F,且与椭圆E交于A、B两点,若△OAB的面积为
2
3
,求直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
16
+
y2
9
=1
的左、右焦点分别为F1、F2,P为椭圆上一点,则|PF1|+|PF2|=(  )
A.16B.8C.6D.4
题型:成都模拟难度:| 查看答案
设椭圆方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a>b>0)
,令c2=a2-b2,那么它的准线方程为(  )
A.y=±
a2
c
B.y=±
b2
c
C.x=±
a2
c
D.x=±
b2
c
题型:不详难度:| 查看答案
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