题目

题型：不详难度：来源：

(本题满分12分)已知椭圆W的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，两条准线间的距离为6. 椭圆W的左焦点为，过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.
（Ⅰ）求椭圆W的方程；
（Ⅱ）求证： ()；

答案

（Ⅰ）
（Ⅱ）证明见解析

解析

（Ⅰ）设椭圆W的方程为，由题意可知
解得，，，
所以椭圆W的方程为．（4分）
（Ⅱ）解法1：因为左准线方程为，所以点坐标为.
于是可设直线 的方程为．
得.
由直线与椭圆W交于、两点，可知
，解得．
设点，的坐标分别为，,
则，，
，．(8分)
因为，，
所以，.
又因为

，
所以．    (12分)
解法2：因为左准线方程为，所以点坐标为.
于是可设直线的方程为，点，的坐标分别为，,
则点的坐标为，，．
由椭圆的第二定义可得,
所以，，三点共线，即．(12分)