题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，短轴长为2．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线过且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线的方程．

答案

（1）
（2）

解析

解：设椭圆方程为．---                         
由已知可得   
∴所求椭圆方程为-------------------------------------4分．                                   
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，           
则，，
两式相减得：．      
∵P是AB的中点，
∴，代入上式可得直线AB的斜率为，                       
∴直线的方程为．-----------------------------------------8分
当直线的斜率不存在时，将代入椭圆方程并解得，，这时AB的中点为，
∴不符合题设要求．----------------------------------10分
综上，直线的方程为．-------------------------  12分