题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为，以原点为圆点，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切。
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设P（4，0），A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交随圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；

答案

：（Ⅰ）由题意知e==，所以e²===．即a²=b²．
又因为b==，所以a²=4，b²=3．故椭圆的方程为=1.…4分
（Ⅱ）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y=k(x-4)，和椭圆方程联立解决．
由,得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0． ①…6分
设点B(x₁,y₁)，E(x₂,y₂)，则A(x₁,-y₁)．直线AE的方程为y-y₂=(x-x₂)．令y=0，得x=x₂-．将y₁=k(x₁-4)，y₂=k(x₂-4)代入，
整理，得x=． ②…8分
由①得x₁+x₂=，x₁x₂=…10分  代入②整理，得x=1．
所以直线AE与x轴相交于定点Q(1,0)

解析

（1）离心率为得=，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切，b==，解得a²=4，b²=3；（Ⅱ）直线PB的方程为y=k(x-4)