题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为．
（1）求椭圆的离心率的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值．

答案

（1）；（2）．

解析

(1)根据圆的切线长公式可得,显然当取得最小值时取得最小值,而,再根据的最小值为,可建立关于a,c的不等式，从而求出e的取值范围.
(2)设直线l的方程为,然后与椭圆方程联立消y得关于x的一元二次方程，因为，所以再结合直线方程和韦达定理，建立关于k与a的等式关系.从而在直线方程中用a表示k,再把最终化成关于c的函数表达式，再利用率心率e的范围，确定出c的范围，求函数最值即可.
（1）依题意设切线长
∴当且仅当取得最小值时取得最小值，
而，．．．．．．2分
，，
从而解得，故离心率的取值范围是；．．．．．．6分
（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为， 联立方程组  
得，设，则有，，代入直线方程得，
，又，，
．．．．．． 10分
，直线的方程为，圆心到直线的距离，由图象可知，
，，，所以．14分