题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个顶点A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.
(1)求椭圆C的方程.
(2)当△AMN的面积为时,求k的值.

答案

(1) +=1    (2) k=±1

解析

(1)a=2,e==,c=,b=,
椭圆C:+=1.
(2)设M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),则由,消y得
(1+2k²)x²-4k²x+2k²-4=0,
∵直线y=k(x-1)过椭圆内点(1,0),
∴Δ>0恒成立,
由根与系数的关系得
x₁+x₂=,x₁x₂=,
S_△AMN=×1×|y₁-y₂|=×|kx₁-kx₂|
===.
即7k⁴-2k²-5=0,解得k=±1.