题目

题型：不详难度：来源：

已知椭圆：的离心率为，右焦点为(，0)．
(1)求椭圆的方程；  
(2)若过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值.

答案

(1)（2）见解析

解析

试题分析：(1)由离心率，右焦点坐标易得各常量值. (2)先假设，当直线AB斜率存在时，与椭圆方程联立，可得又OA⊥OB，满足根与系数的关系，可得4 m²＝3 k²＋3，代入点到直线的距离可得d＝.
试题解析：（1）由右焦点为(，0)，则，又，所以，
那么                                   4分
（2） 设，，若k存在，则设直线AB：y＝kx＋m.
由，得    6分
＞0，                 8分
有OA⊥OB知x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(k x₁＋m) (k x₂＋m)＝(1＋k²) x₁x₂＋k m(x₁＋x₂)＝0       10分
代入，得4 m²＝3 k²＋3原点到直线AB的距离d＝.      12分
当AB的斜率不存在时，,可得，依然成立．   13分
所以点O到直线的距离为定值           14分