题目

题型：江苏月考题难度：来源：

已知平面直角坐标系xOy中O是坐标原点，A（6，2），B（8，0），圆C是△OAB的外接圆，过点（2，6）的直线为l．
（1）求圆C的方程；
（2）若l与圆相切，求切线方程；
（3）若l被圆所截得的弦长为4，求直线l的方程．

答案

解：（1）∵O（0，0），A（6，2），
∴直线OA的方程斜率为=，
∴线段OA垂直平分线的斜率为﹣，
又线段AO的中点坐标为（3，），
∴线段OA垂直平分线的方程为y﹣=﹣（x﹣3），即x+y﹣4=0①，
又线段OB的垂直平分线为x=4②，
∴将②代入①解得：y=0，
∴圆心C的坐标为（4，0），
又|OC|=4，即圆C的半径为4，
则圆C的方程为：（x﹣4）²+y²=16；
（2）显然切线方程的斜率存在，设切线l的斜率为k，又切线过（2，6），
∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），即kx﹣y+6﹣2k=0，
∴圆心到切线的距离d=r，即=4，
解得：k=，
则切线l的方程为：y﹣6=（x﹣2）； 
（3）当直线l的斜率不存在时，显然直线x=2满足题意；
当直线l的斜率存在时，设斜率为k，又直线l过（2，6），
∴切线l的方程为y﹣6=k（x﹣2），
即kx﹣y+6﹣2k=0，
又弦长为4，半径r=4，
∴圆心到切线的距离d==2，即=2，
解得：k=﹣，
∴直线l的方程为y﹣6=﹣（x﹣2），
即4x+3y﹣26=0，
综上，直线l的方程为x=2或4x+3y﹣26=0．