已知圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3). ①求直线l1的方程. ②若直线l2:x+y+b=0与圆C相交,求b的取值范围. ③是否存在常数b,使得直线l2被圆C所截得的弦的中点落在直线l1上?若存在,求出b的值;若不存在,说明理由. |
①∵圆C的方程化标准方程为:(x-3)2+(y-2)2=9, ∴圆心C(3,2),半径r=3.设直线l1的斜率为则k,则 k=-=-=-2. ∴直线l1的方程为:y-3=-2(x-5)即2x+y-13=0. ②∵圆的半径r=3, ∴要使直线l2与圆C相交则须有:<3, ∴|5|<3于是b的取值范围是:-3-5<b<3-5. ③设直线l2被圆C解得的弦的中点为M(x°,y°),则直线l2与CM垂直,于是有:=1, 整理可得:x°-y°-1=0. 又∵点M(x°,y°)在直线l2上, ∴x°+y°+b=0 ∴由解得:代入直线l1的方程得:1-b--13=0, ∴b=-∈(-3-5,3-5), 故存在满足条件的常数b. |
核心考点
试题【已知圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,直线l1被圆所截得的弦的中点为P(5,3).①求直线l1的方程.②若直线l2:x+y+b=0与圆C相交,求b的取值范围】;主要考察你对
直线与圆的位置关系等知识点的理解。
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举一反三
直线3x+4y-13=0与圆(x-2)2+(y-3)2=4的位置关系是( )A.相切 | B.相交 | C.相离 | D.无法判定 | 若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=17的距离等于1,则半径r的取值范围是( )A.(0,2) | B.(1,2) | C.(1,3) | D.(2,3) | 已知圆C1:x2+y2-2x-4y-13=0与圆C2:x2+y2-2ax-6y+a2+1=0(其中a>0)相外切,且直线l:(m+1)x+y-7m-7=0与圆C2相切,求m的值. | 已知直线l1:(2m+1)x+(m+1)y-7m-5=0(m∈R)和直线l1:x+3y-5=0,圆C:x2+y2-2x-4y=0. (1)当m为何值时,l1∥l2? (2)是否存在点P,使得不论m为何值,直线l1都经过点P?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由; (3)试判断直线l1与圆C的位置关系.若相交,求截得的弦长最短时m的值以及最短长度;若相切,求切点的坐标;若相离,求圆心到直线l1的距离的最大值. | 已知,圆C:x2+y2-8y+12=0,直线l:ax+y+2a=0. (1)当a为何值时,直线l与圆C相切; (2)当直线l与圆C相交于A、B两点,且AB=2时,求直线l的方程. |
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