题目

题型：不详难度：来源：

已知直线l：x=4与x轴相交于点M，动点P满足PM⊥PO（O是坐标原点）．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）试在直线l上确定一点D（异于M点），过点D作曲线C的切线，使得切点E恰为切线与x轴的交点F与点D的中点．

答案

（1）依题意，M（4，0）…（1分）
设P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO，得

PM

•

PO

=0，即x（x-4）+y²=0…（4分）
整理得：动点P的轨迹C的方程为（x-2）²+y²=4（x≠0且x≠4）…（6分）
（2）因为DE、DM都是圆（x-2）²+y²=4的切线，所以DE=DM…（9分）
因为E点是DF的中点，所以DF=2DE=2DM，所以∠DFN=

π

6

…（11分）
设C（2，0），在△CEF中，∠CEF=

π

2

，∠CFE=

π

6

，CE=2，
所以CF=4，FM=6…（13分）
从而DM=2

3

，故D（4，±2

3

）…（15分）