题目

题型：广东省模拟题难度：来源：

设椭圆方程为，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足，点N的坐标为，当直线l绕点M旋转时，求：
(1)动点P的轨迹方程；
(2) 的最大值和最小值

答案

解：(1)直线l过定点M(0,1)，设其斜率为k，则l的方程为y＝kx＋1.
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
由消去y得(4＋k²)x²＋2kx－3＝0
因△＝4k²＋12(4＋k²)>0.
故方程(4＋k²)x²＋2kx－3＝0有两个不同根
设，由题设可得：
又.消去k得
当斜率k不存在时，AB的中点是坐标原点，也满足这个方程
故P点的轨迹方程为4x²＋y²－y＝0
(2)由(1)知              
∴
而
∴当x＝－时，取得最大值
当x＝时，取得最小值