题目

题型：不详难度：来源：

（14分）已知圆过点且与圆M:关于直线对称
(1)判断圆与圆M的位置关系,并说明理由;
(2)过点作两条相异直线分别与圆相交于、
①若直线与直线互相垂直，求的最大值；
②若直线与直线与轴分别交于、，且,为坐标原点,试判断直线与是否平行?请说明理由.

答案

(1)圆M与圆C外切，理由略
(2) ①、被圆所截得弦长之和的最大值为4
②直线和一定平行，理由略。

解析

解:(1)设圆心,则,解得
则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为
,又两半径之和为,圆M与圆C外切.
(2) ①设、被圆所截得弦的中点分别为，弦长分别为，因为四边形是矩形，所以,即
，化简得
从而，(时取等号,此时直线PA,PB必有一条斜率不存在)综上: 、被圆所截得弦长之和的最大值为4
另解：若直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在,
则PA=PB=2,此时PA+PB="4."
若直线PA与PB斜率都存在，且互为负倒数，故可设,即
，() 点C到PA的距离为，同理可得点C到PB的距离为，
<16,）
综上：、被圆所截得弦长之和的最大值为4
②直线和平行,理由如下：
由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设,
,由,得
因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得
同理,,
所以=
所以,直线和一定平行.