题目
题型:不详难度:来源:
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
答案
解析
试题分析:在解决与圆相关的弦长问题时,一般有三种方法:一是直接求出直线与圆的交点坐标,再利用两点间的距离公式得出;二是不求交点坐标,用一元二次方程根与系数的关系得出,即设直线的斜率为k,直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解,三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求.对于圆中的弦长问题,一般利用第三种方法比较简捷.本题所用方法就是第三种方法.
(1)直线过点,故可以设出直线的点斜式方程,又由直线被圆截得的弦长为,根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理,求出弦心距,即圆心到直线的距离,得到一个关于直线斜率的方程,解方程求出值,可求直线的方程.
(2)与(1)相同,设出过点的直线与的点斜式方程,由于两直线斜率为1,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,得到一个关于直线斜率的方程,解方程求出值,代入即得直线与的方程.
试题解析:(1)由于直线与圆不相交,所以直线的斜率存在,设直线的方程为,圆的圆心到直线的距离为,
因为直线被圆截得的弦长为,
,
即或,
所以直线的方程为或 (5分)
(2)设点满足条件,不妨设直线的方程为,
则直线的方程为,因为和的半径相等,及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,所以圆的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等,
即 (8分)
整理得:即,因为的取值有无穷多个,
所以 (12分)
解得
这样点只可能是点或点.
经检验点和满足题目条件. (14分)
核心考点
试题【在平面直角坐标系xOy中,已知圆:和圆:(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷】;主要考察你对点到直线的距离等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.相离 | B.相切 | C.相交过圆心 | D.相交不过圆心 |
A. | B. |
C. | D. |
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