当前位置:高中试题 > 数学试题 > 点到直线的距离 > 已知圆心为的圆经过点.(1)求圆的标准方程;(2)若直线过点且被圆截得的线段长为,求直线的方程;(3)是否存在斜率是1的直线,使得以被圆所截得的弦EF为直径的圆...
题目
题型:不详难度:来源:
已知圆心为的圆经过点.
(1)求圆的标准方程;
(2)若直线过点且被圆截得的线段长为,求直线的方程;
(3)是否存在斜率是1的直线,使得以被圆所截得的弦EF为直径的圆经过
原点?若存在,试求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
答案
(1);(2);(3)不存在.
解析

试题分析:(1)用两点的距离公式求出圆的半径,就可写出圆的标准方程;(2)法一:由圆的弦长可求得圆心到直线的距离,再用点斜式设出所求直线的方程,应用待定系数法:由点到直线的距离公式,就可求出所求直线的斜率,从而就可求得所求的直线方程,只是一定要注意:斜率不存在情形的讨论;法二:设出直线的斜率,写出直线方程,与圆方程联立,消去y得到关于x的一元二次方程,应用韦达定理及弦长公式,就可用斜率的代数式将弦长表示出来,从而获得关于斜率的方程解之即得;一样也需考虑斜率不存在情形;(3)法一:假设所求直线存在,先用斜截式设出其方程,并用m的式子表示出弦EF的中点坐标,再画出图形,由以弦EF为直径的圆经过原点知,再作勾股定理即可获得关于m的方程,解此方程,有解则存在,并可写出对应直线方程,无解则不存在;法二:将直线方程与圆方程联立,消元,再用韦达定理,将条件应用向量知识转化为,然后将韦达定理的结论代入即可获得关于m的方程,解此方程,有解则存在,并可写出对应直线方程,无解则不存在.
试题解析:(1)圆的半径为,        1分
∴圆的标准方程为.            3分
(2)方法一 如图所示,设直线与圆交于两点,且的中点,则

∵圆的半径为4,即
∴在中,可得,即点到直线的距离为2.           4分
(i)当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为,即.           5分
由点到直线的距离公式得:=2,解得.
∴此时直线的方程为.            7分
(ii)当直线的斜率不存在时,直线的方程为.
代入
,,
∴方程为的直线也满足题意.
∴所求直线的方程为.         8分
方法二:当所求直线的斜率存在时,设所求直线的方程为,即.---4分
联立直线与圆的方程:,          5分
消去      ①
设方程①的两根为,
由根与系数的关系得        ②
由弦长公式得|x1-x2|==4   ③
将②式代入③,并解得
此时直线的方程为.            7分
当直线的斜率不存在时,直线的方程为
仿方法一验算得方程为的直线也满足题意.
∴所求直线的方程为.           8分
(3)方法一:假设存在直线满足题设条件,设的方程为,
的中点是两直线的交点,即,          10分
.
∵以为直径的圆经过原点,

,  12分
又∵
,化简得
∵方程没有实数解,
∴不存在满足题设条件的直线.                14分
方法二: 假设存在直线满足题设条件,并设的方程为,点,点,
联立直线与圆的方程,          9分
消去 
由根与系数的关系得      ④      11分
∵以为直径的圆经过原点,
.
中有一点在轴上,则另一点必在轴上,而在圆的方程中令可得无实数解,故本情况不会出现.    --------12分


化简得: ,        13分
以④代入并化简得 
∵方程没有实数解,
∴不存在满足题设条件的直线.               14分
核心考点
试题【已知圆心为的圆经过点.(1)求圆的标准方程;(2)若直线过点且被圆截得的线段长为,求直线的方程;(3)是否存在斜率是1的直线,使得以被圆所截得的弦EF为直径的圆】;主要考察你对点到直线的距离等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知圆和点
(1)过点M向圆O引切线,求切线的方程;
(2)求以点M为圆心,且被直线截得的弦长为8的圆M的方程;
(3)设P为(2)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否存在一定点R,使得为定值?若存在,请求出定点R的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
设有半径为3的圆形村落,A、B两人同时从村落中心出发,B向北直行,A先向东直行,出村后不久,改变前进方向,沿着与村落周界相切的直线前进,后来恰与B相遇.设A、B两人速度一定,其速度比为3:1,问两人在何处相遇?
题型:不详难度:| 查看答案
直线与圆的位置关系是        (填相交、相切、相离)
题型:不详难度:| 查看答案
将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛两次,将得到的点数分别记为a,b.
(1)求满足条件a+b≥9的概率;
(2)求直线ax+by+5=0与x2+y2=1相切的概率
(3)将a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率。
题型:不详难度:| 查看答案
已知圆C的圆心在坐标原点,且与直线相切
(1)求直线被圆C所截得的弦AB的长.
(2)过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线,切点分别为M,N求直线MN的方程
(3)若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P,Q,若∠POQ为钝角,求直线l纵截距的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
版权所有 CopyRight © 2012-2019 超级试练试题库 All Rights Reserved.