题目
题型:不详难度:来源:
(1)求椭圆的方程;
(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,若果是则求出该定点的坐标,不是请说明理由。
答案
解析
试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程以及几何性质、直线的标准方程、直线与椭圆的位置关系、韦达定理等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,利用点在椭圆上和离心率得到方程组,解出a和b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,需要对直线MN的斜率是否存在进行讨论,(ⅰ)若存在点P在MN上,设出直线MN的方程,由于直线MN与椭圆相交,所以两方程联立,得到两根之和,结合中点坐标公式,得到直线MN的斜率,由于直线MN与直线垂直,从而得到直线的斜率,因为直线也过点P,写出直线的方程,经过整理,即可求出定点,(ⅱ)若直线MN的斜率不存在,则直线MN即为,而直线为x轴,经验证直线,也过上述定点,所以综上所述,有定点.
(1)因为点在椭圆上,所以, 所以, 1分
因为椭圆的离心率为,所以,即, 2分
解得, 所以椭圆的方程为. 4分
(2)设,,
①当直线的斜率存在时,设直线的方程为,,,
由得,
所以, 因为为中点,所以,即.
所以, 8分
因为直线,所以,所以直线的方程为,
即 ,显然直线恒过定点. 10分
②当直线的斜率不存在时,直线的方程为,此时直线为轴,也过点.
综上所述直线恒过定点. 12分
核心考点
试题【已知椭圆:()过点(2,0),且椭圆C的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)若动点在直线上,过作直线交椭圆于两点,且为线段中点,再过作直线.求直线是否恒过定点,】;主要考察你对直线方程的几种形式等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求点的轨迹;
(2)过点作直线交以为焦点的椭圆于两点,线段的中点到轴的距离为,且直线与点的轨迹相切,求该椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设点的坐标为,是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆,使得该圆与直线都相切,如存在,求出点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
(1)求椭圆的方程;
(2)若分别是椭圆长轴的左右端点,动点满足,连接,交椭圆于点.证明:为定值;
(3)在(2)的条件下,试问轴上是否存在异于点的定点,使得以为直径的圆恒过直线的交点,若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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