题目

题型：广州一模难度：来源：

已知曲线C：xy=1，过C上一点A₁（x₁，y₁）作斜率k₁的直线，交曲线C于另一点A₂（x₂，y₂），再过A₂（x₂，y₂）作斜率为k₂的直线，交曲线C于另一点A₃（x₃，y₃），…，过A_n（x_n，y_n）作斜率为k_n的直线，交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）…，其中x₁=1，kn=-

xn+1

x 2n +4xn

(x∈N*)
（1）求x_n+1与x_n的关系式；
（2）判断x_n与2的大小关系，并证明你的结论；
（3）求证：|x₁-2|+|x₂-2|+…+|x_n-2|＜2．

答案

（1）由已知过A_n（x_n，y_n）斜率为-

xn+1

x 2n +4xn

的直线为y-y_n=-

xn+1

x 2n +4xn

（x-x_n），
直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）
所以y_n+1-y_n=-

xn+1

x 2n +4xn

（x_n+1-x_n）（2分）
即

1

xn+1

-

1

xn

=-

xn+1

x 2n +4xn

（x_n+1-x_n），x_n+1-x_n≠0，
所以xn+1=

xn+4

xn+1

(n∈N*)（4分）
（2）当n为奇数时，x_n＜2；当n为偶数时，x_n＞2（5分）
因为xn-2=

xn-1+4

xn-1+1

-2=-

xn-1-2

xn-1+1

，（6分）
注意到x_n＞0，所以x_n-2与x_n-1-2异号
由于x₁=1＜2，所以x₂＞2，以此类推，
当n=2k-1（k∈N^*）时，x_n＜2；
当n=2k（k∈N^*）时，x_n＞2（8分）
（3）由于x_n＞0，xn+1=

xn+4

xn+1

=1+

3

xn+1

，
所以x_n≥1（n=1，2，3，）（9分）
所以|xn+1-2|=|

xn-2

xn+1

|=

|xn-2|

|xn+1|

≤

1

2

|xn-2|（10分）
所以|x_n-2|≤

1

2

|xn-1-2|≤

1

22

|xn-2-2|≤…≤

1

2n-1

|x1-2|=

1

2n-1

（12分）
所以|x₁-2|+|x₂+2|+…+|x_n-2|≤1+

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1=2-(

1

2

)n-1＜2（14分）