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题目
题型:不详难度:来源:
已知双曲线的中心为原点,左、右焦点分别为,离心率为,点是直线上任意一点,点在双曲线上,且满足.
(1)求实数的值;
(2)证明:直线与直线的斜率之积是定值;
(3)若点的纵坐标为,过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点,在线段上去异于点的点,满足,证明点恒在一条定直线上.
答案
(1);(2)详见解析;(3)详见解析.
解析

试题分析:(1)根据双曲线的离心率列方程求出实数的值;(2)设点的坐标为,点的坐标为,利用条件确定之间的关系,再结合点在双曲线上这一条件,以及斜率公式来证明直线与直线的斜率之积是定值;(3)证法一是先设点的坐标分别为,结合(2)得到,引入参数,利用转化为相应的条件,利用坐标运算得到点的坐标所满足的关系式,进而证明点恒在定直线上;证法二是设直线的方程为,将直线的方程与双曲线的方程联立,结合韦达定理,将条件进行等价转化为,结合韦达定理化简为,最后利用点在直线上得到,从而消去得到
,进而证明点恒在定直线上.
试题解析:(1)根据双曲线的定义可得双曲线的离心率为,由于,解得
故双曲线的方程为
(2)设点的坐标为,点的坐标为,易知点

,因此点的坐标为
故直线的斜率,直线的斜率为
因此直线与直线的斜率之积为
由于点在双曲线上,所以,所以
于是有
(定值);
(3)证法一:设点 且过点的直线与双曲线的右支交于不同的两点,由(2)知,
,则,即
整理得
由①③,②④得,
,代入⑥得,⑦,
将⑦代入⑤得,即点恒在定直线上;
证法二:依题意,直线的斜率存在,设直线的方程为

消去
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点
则有
设点,由,得
整理得
将②③代入上式得
整理得,④
因为点在直线上,所以,⑤
联立④⑤消去,所以点恒在定直线.
核心考点
试题【已知双曲线的中心为原点,左、右焦点分别为、,离心率为,点是直线上任意一点,点在双曲线上,且满足.(1)求实数的值;(2)证明:直线与直线的斜率之积是定值;(3)】;主要考察你对直线方程的概念与直线的斜率等知识点的理解。[详细]
举一反三
直线的倾斜角为(   )
A.150ºB.120º
C.60º    D.30º

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过点M(-,),N(-,)的直线的倾斜角是(  )
A.πB.C.D.

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直线xcos140°+ysin140°=0的倾斜角是(  )
A.40°B.50°C.130°D.140°

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若过点P(-,1)和Q(0,a)的直线的倾斜角的取值范围为≤α≤,则实数a的取值范围是    .
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已知直线l的倾斜角为π,直线l1经过点A(3,2)和B(a,-1),且直线l1与直线l垂直,直线l2的方程为2x+by+1=0,且直线l2与直线l1平行,则a+b等于    .
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