在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD和DC上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得二面角A-BP-C成直二面角，当θ为（　　）时，AC长最小 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD和DC上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得二面角A-BP-C成直二面角，当θ为（　　）时，AC长最小．

A．30°

B．45°

C．60°

D．75°

答案

过A作AH⊥BP于H，连CH，
∴AH⊥面BCP．∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．
在△BHC中，CH²=（3cosθ）²+4²-2×4×3cosθ×cos（90°-θ），
∴在Rt△ACH中，AC²=25-12sin2θ，∴θ=45°时，AC长最小；
故选B．

核心考点

试题【在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD和DC上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得二面角A-BP-C成直二面角，当θ为（　　）时，AC长最小】；主要考察你对二面角等知识点的理解。[详细]

举一反三

表面积为4π的球O与平面角为钝角的二面角的两个半平面相切于A、B两点，三角形OAB的面积S=

，则球心到二面角的棱的距离为______．

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在△ABC中，∠B=90°，AC=

，D，E两点分别在AB，AC上．使

=2，DE=3．将△ABC沿DE折成直二面角，则二面角A-EC-B的余弦值为（　　）

A．

B．

C．

D．

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若二面角α-l-β的大小为

，直线m⊥α，则β所在平面内的直线与m所成角的取值范围是（　　）

A．(0，

)

B．[

，

]

C．[

，

]

D．[

，

2π

]

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在四棱柱ABC-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA₁=4，AB=2，点E在棱CC₁上，点F是棱C₁D₁的中点．
（I）若点E是棱CC₁的中点，求证：EF∥平面A₁BD；
（II）试确定点E的位置，使得A₁-BD-E为直二面角，并说明理由．

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已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱CC₁的动点．
（1）当E恰为棱CC₁的中点时，试证明：平面A₁BD⊥平面EBD；
（2）在棱CC₁上是否存在一个点E，可以使二面角A₁-BD-E的大小为45°？如果存在，试确定点E在棱CC₁上的位置；如果不存在，请说明理由．

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