题目

题型：天津期中题难度：来源：

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，AA₁=4。
（1）说出BD₁与平面ABCD所成角，并求出它的正切值；
（2）指出二面角D₁-AC-D的平面角，并求出它的正切值；
（3）求证：AC⊥BD₁。

答案

解：（1）BD₁与平面ABCD所成角为∠D₁BD，
在RtD₁BD中，DD₁=4，BD=2，
∴。
（2）连接BD，交AC于O，∠D₁OD为二面角D₁-AC-D的平面角，
在RtD₁OD中，DD₁=4， OD=，
∴。
（3）长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，易知DD₁⊥面ABCD，
∴DD₁⊥AC，
正方形ABCD中，DB⊥AC，DD₁∩DB=D，
∴AC⊥面BDD₁，
∴AC⊥BD₁。