题目

题型：陕西省高考真题难度：来源：

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A₁，点B在l的射影为B₁，已知AB=2，AA₁=1，BB₁=，求：
（1）直线AB分别与平面α，β所成角的大小；
（2）二面角A₁-AB-B₁的大小。

答案

解：（1）如图，连接A₁B，AB₁
∵，∩=l，AA₁⊥l，BB₂⊥l，
∴AA₁⊥β，BB₁⊥α
则∠BAB₁，∠ABA₁分别是AB与α和β所成的角
Rt△BB₁A中，BB₁=，AB=2，
∴sin∠BAB₁=
∴∠BAB₁=45°
Rt△AA₁B中，AA₁=1，AB=2，
∴sin∠ABA₁=
∴∠ABA₁=30°
故AB与平面α，β所成的角分别是45°，30°。（2）∵BB₁⊥α，
∴平面ABB₁⊥α
在平面α内过A₁作A₁E⊥AB₁交AB₁于E，则A₁E⊥平面AB₁B
过E作EF⊥AB交AB于F，连接A₁F，
则由三垂线定理得A₁F⊥AB，
∴∠A₁FE就是所求二面角的平面角
在Rt△ABB₁中，∠BAB₁=45°，
∴AB₁=B₁B=
∴Rt△AA₁B₁中，AA₁=A₁B₁=1，
∴，
在Rt△AA₁B中，
由AA₁·A₁B=A₁F·AB得
A₁F=
∴在Rt△A₁EF中，sin∠A₁FE=，
∴二面角A-AB-B₁的大小为arcsin。