题目

题型：模拟题难度：来源：

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁，D为AB的中点，且CD⊥DA₁。

（1）求证：BC₁∥平面DCA₁；
（2）求BC₁与平面ABB₁A₁所成角的大小。

答案

解：（1）如图，连接AC₁与A₁C交于点K，连接DK
在△ABC₁中，D，K为中点，
∴DK∥BC₁
又DK平面DCA₁，BC₁平面DCA₁，
∴BC₁∥平面DCA₁。

（2）如图，∵AC=BC，D为AB的中点，
∴CD⊥AB
又CD⊥DA₁，AB∩DA₁=D，
∴CD⊥平面ABB₁A₁
取A₁B₁的中点E，又D为AB的中点，
∴DE，BB₁，CC₁平行且相等，
∴DCC₁E是平行四边形，
∴C₁E，CD平行且相等，
又CD⊥平面ABB₁A₁，
∴C₁E⊥平面ABB₁A₁，
∴∠EBC₁即所求角，
由前面证明知CD⊥平面ABB₁A₁，
∴CD⊥BB₁，
又AB⊥BB₁，AB∩CD=D，
∴BB₁⊥平面ABC，
∴此三棱柱为直棱柱
设AC=BC=BB₁=2，
∴，∠EBC₁=30°。