题目

题型：月考题难度：来源：

如图，圆柱的高为2，底面半径为3，AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点，已知四边形ABCD是正方形．
（Ⅰ）求证：BC⊥BE；
（Ⅱ）求正方形ABCD的边长；
（Ⅲ）求直线EF与平面ABF所成角的正弦值．

答案

解：（I）∵AE是圆柱的母线
∴AE⊥底面BEFC，
又BC面BEFC∴AE⊥BC
又∵ABCD是正方形∴AB⊥BC
又AE∩AB=A∴BC⊥面ABE
又BE面ABE∴BC⊥BE
（II）∵四边形AEFD为矩形，且ABCD是正方形
∴EF BC
∵BC⊥BE∴四边形EFBC为矩形
∴BF为圆柱下底面的直径
设正方形ABCD的边长为x，
则AD=EF=AB=x
在直角△AEB中AE=2，AB=x，且BE²+AE²=AB²，得BE²=x²﹣4
在直角△BEF中BF=6，EF=x，且BE²+EF²=BF²，的BE²=36﹣x²
解得x= ，即正方形ABCD的边长为 
（III）解：如图以F为原点建立空间直角坐标系，
则A（ ，0，2），B（ ，4，0），E（ ，0，0）， =（ ，0，2）， =（ ，4，0）， =（ ，0，0）
设面AEF的法向量为 =（x，y，z），则 
令x=1，则 ，即 =（1， ， ）
设直线EF与平面ABF所成角的大小为θ，
则 
所以直线EF与平面ABF所成角的正弦值为 ．