题目

题型：山西省月考题难度：来源：

直四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，AB=2AD=2DC=2，E为
BD₁的中点，F为AB中点．
（1）求证：EF∥平面ADD₁A₁；
（2）若，求A₁F与平面DEF所成角的正弦值．

答案

解：（1）证明：连接AD₁，在△ABD₁中
∵E是BD₁的中点，F是BA中点，
∴EF∥AD₁又EF平面ADD₁A₁，AD₁平面ADD₁A₁
∴EF∥平面ADD₁A₁．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyzz（DG为AB边上的高）
则有A₁（，﹣，），F（，，0），D₁（0，0，），B（，，0），
∴E（ ，， ），
设平面DEF的一个法向量为n=（x，y，z），
由，得
取x=1解得
∴法向量
∵=（0，1，﹣），
设A₁F与平面DEF所成的角为θ，
则=
∴A₁F与平面DEF所成角的正弦值为．