题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是一直角梯形，，，底面．
（1）在上是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；
若不存在，试说明理由；
（2）在（1）的条件下，若与所成的角为，求二面角的余弦值．

答案

（1），理由见解析。
（2）

解析

（1）方法一：存在点使平面，…………………………1分
连接交于，连接，，所以，所以…4分
又平面，不在平面内，所以平面…………………………5分
方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，…1分
设，则，假设存在点使平面，………2分
设平面的一个法向量为，，
，，所以，……4分所以……5分
（2），，因为与所成的角为
所以，则……………7分
由（1）知平面的一个法向量为…………………………8分
因为，，所以
所以，所以，又底面，则平面，
所以是平面的一个法向量…………………………10分
所以，所以二面角的余弦值为…………12分